cálculo de la transferencia de calor por radiación entre dos cuerpos negros que forman un encierro

Cuando dos objetos se encuentran uno en presencia de otro, ocurre una transferencia de calor por radiación, recíproca entre ellos. La cantidad de energía que cada uno de ellos recibe, depende de la geometría y de los materiales de los que están hechos. 

 Para calcular la transferencia de calor por radiación entre dos cuerpos negros que forman un encierro (o que se ven mutuamente), se deben considerar varios conceptos y fórmulas clave presentados en los fuentes.

La transferencia de calor por radiación entre dos objetos es un proceso recíproco, donde cada cuerpo recibe energía del otro. La cantidad de energía transferida depende de la geometría y de los materiales de los que están hechos los cuerpos

Conceptos Clave

1. Cuerpo Negro: Como ya sabes, es el emisor y absorbedor ideal de radiación. Su emisividad (ε) es igual a 1, y su poder emisivo (Eb​) se calcula con la Ley de Stefan-Boltzmann: $E_b=\sigma T^4$.

2. Encierro (o Cavidad): Se refiere a un sistema donde las superficies intercambian radiación solo entre sí, sin pérdidas significativas al exterior ni interferencia de otras superficies.

La Ecuación Fundamental

Para la transferencia de calor neta por radiación entre dos superficies de cuerpo negro (1 y 2) que forman un encierro, la ecuación es bastante directa:

$$Q_{12}=A_1\sigma (T_1^4-T_2^4)$$

Donde:

• Q12​: Tasa neta de transferencia de calor por radiación desde la superficie 1 a la superficie 2 (en Watts, W).

• A1​: Área de la superficie 1 (en m2). En un encierro de dos cuerpos negros, la radiación que sale de A1​ es absorbida por A2​, y viceversa. Si el encierro es completo y A1​ "ve" completamente a A2​ (como una esfera pequeña dentro de una grande), se usa el área de la superficie que está radiando hacia la otra. En el caso de placas paralelas, se usa el área de una de ellas.

• σ: Constante de Stefan-Boltzmann ($5.67\times 10^{-8}{\text{ W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$).

• T1​: Temperatura absoluta de la superficie 1 (en Kelvin, K).

• T2​: Temperatura absoluta de la superficie 2 (en Kelvin, K).

es importante tener el conocimiento de los siguientes conceptos cuando hablamos de este tema:

Dirección del Flujo de Calor: El calor fluirá siempre de la superficie con mayor temperatura (T1​) a la de menor temperatura (T2​). Si $T_1>T_2$, Q12​ será positivo, indicando flujo de 1 a 2.

Encierro Ideal: Esta fórmula es válida porque estamos asumiendo que las superficies son cuerpos negros y que no hay pérdidas de radiación a otros lugares fuera del encierro. Es una simplificación potente para entender el principio básico.

ejercicios resueltos.

Problema: Un horno de laboratorio tiene una cavidad esférica. La superficie interior de la cavidad (paredes del horno, superficie 1) se mantiene a una temperatura de 600 °C y se puede considerar un cuerpo negro. Dentro de esta cavidad se coloca un pequeño objeto esférico (superficie 2) de 0.05 m de diámetro, también considerado un cuerpo negro, cuya superficie se mantiene a 200 °C. Calcula la tasa neta de transferencia de calor por radiación desde las paredes del horno al pequeño objeto.

Solución:

1. Identificar los datos y constantes:

• Temperatura de la superficie 1 (paredes del horno, T1​) = 600 °C

• Temperatura de la superficie 2 (objeto esférico, T2​) = 200 °C

• Diámetro del objeto esférico (D2​) = 0.05 m

• Constante de Stefan-Boltzmann (σ) = $5.67\times 10^{-8}{\text{ W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$

2. Convertir temperaturas a Kelvin:

• $T_1=600\text{ °C}+273.15=873.15\text{ K}$

• $T_2=200\text{ °C}+273.15=473.15\text{ K}$

3. Calcular el área de la superficie del objeto que recibe la radiación ($A_2$): Dado que el objeto es pequeño y está "encerrado" por las paredes del horno, toda la radiación que emite el objeto y toda la radiación de las paredes que incide en él es la que intercambian. Por lo tanto, el área relevante para el intercambio es la del objeto más pequeño.

• El área superficial de una esfera es $A=\pi D^2$.

• $A_2=\pi (0.05\text{ m}{)}^2=\pi (0.0025{\text{ m}}^2)\approx 0.007854{\text{ m}}^2$

4. Aplicar la fórmula de transferencia de calor neta por radiación entre dos cuerpos negros en un encierro:

• La fórmula es $Q_{12}=A_2\sigma (T_1^4-T_2^4)$

5. Sustituir los valores y calcular:

• $Q_{12}=(0.007854{\text{ m}}^2)\cdot (5.67\times 10^{-8}{\text{ W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4))\cdot ((873.15\text{ K}{)}^4-(473.15\text{ K}{)}^4)$

• Primero, calcula las temperaturas a la cuarta potencia:

  • $(873.15\text{ K}{)}^4=5.836\times 10^{11}{\text{ K}}^4$

  • $(473.15\text{ K}{)}^4=5.009\times 10^{10}{\text{ K}}^4$

• Luego, la diferencia:

  • $(5.836\times 10^{11}-5.009\times 10^{10}){\text{ K}}^4=(58.36\times 10^{10}-5.009\times 10^{10}){\text{ K}}^4=5.3351\times 10^{11}{\text{ K}}^4$

• Finalmente, multiplica todo:

  • $Q_{12}=0.007854\times 5.67\times 10^{-8}\times 5.3351\times 10^{11}$

  • $Q_{12}=0.007854\times 5.67\times 5335.1$

  • $Q_{12}\approx \text{237.5 W}$

Respuesta: La tasa neta de transferencia de calor por radiación desde las paredes del horno al pequeño objeto es de aproximadamente 237.5 Watts.

ejercicios propuestos 

Problema 1: Placas Paralelas Infinitas Dos placas negras grandes y paralelas se mantienen a temperaturas uniformes de $T_1=450\text{ K}$ y $T_2=250\text{ K}$, respectivamente. Asumiendo que forman un encierro (es decir, toda la radiación de una llega a la otra).
Calcula la tasa neta de transferencia de calor por radiación por unidad de área (Q/A) entre las dos placas.

Problema 2: Tubo Concentríco Un tubo de vapor caliente de 0.15 m de diámetro, con una superficie exterior negra a 180 °C, pasa por el centro de un conducto circular de 0.3 m de diámetro. Las paredes interiores del conducto (consideradas negras) están a 25 °C.
Calcula la tasa neta de transferencia de calor por radiación por unidad de longitud del tubo (Q/L) desde el tubo de vapor al conducto.
dato: Para la radiación por unidad de longitud, el área relevante es el área superficial del tubo interior por unidad de longitud ($A/L=\pi D$).