calculo de transferencia de calor por radiacion entre cuerpos grises

Cuando las superficies no son cuerpos negros ideales, sino cuerpos grises, debemos introducir el concepto de emisividad ( $ε$ ) para cada superficie y, en muchos casos, los factores de forma ( $F_{ij}$ ).

Un cuerpo gris es una superficie cuya emisividad ( $ε$ ) es constante e independiente de la longitud de onda y la temperatura. Recuerda que $0 \leq ε \leq 1$ .

Factores de Forma (Factores de Visión) - $F_{ij}$

El factor de forma $F_{ij}$ (también llamado factor de visión o factor de configuración) representa la fracción de la energía radiante que abandona la superficie $i$ y que incide directamente sobre la superficie $j$ .

Valores: $0 \leq F_{ij} \leq 1$ .
Suma de Factores de Forma: Para una superficie convexa, la suma de todos los factores de forma desde esa superficie a todas las demás superficies que la encierran (incluida ella misma si es cóncava) debe ser 1. Por ejemplo, en un encierro de tres superficies, $F_{11} + F_{12} + F_{13} = 1$ .
Relación de Reciprocidad: $A_{i} F_{ij} = A_{j} F_{ji}$ . Esta relación es muy útil para encontrar un factor de forma si ya conoces el otro y las áreas.

Calcular los factores de forma puede ser complejo y a menudo se utilizan tablas, gráficas o software especializado para configuraciones geométricas comunes.

Resistencia de la Superficie y Resistencia Espacial

Para simplificar el análisis de sistemas con múltiples superficies grises, a menudo se utiliza el método de la red de radiación. Este método es análogo a un circuito eléctrico y nos permite visualizar el flujo de calor radiante como una corriente a través de resistencias.

Potencial Radiosidad ( $J_{i}$ ): Representa la suma de la energía emitida y la energía reflejada por una superficie $i$ por unidad de área y tiempo. Es el "voltaje" o "potencial" en nuestro circuito radiante. Se mide en $W/m^{2}$ .
Resistencia de la Superficie (Resistencia de Emisión/Absorción): Esta resistencia representa la dificultad que tiene una superficie gris para emitir o absorber radiación en comparación con un cuerpo negro. Se calcula como:
$R_{s u p er f i c i e, i} = \frac{1 - ε _{i}}{A _{i} ε _{i}}$
Donde $A_{i}$ es el área de la superficie $i$ y $ε_{i}$ es su emisividad.
Resistencia Espacial (Resistencia de Geometría/Factor de Forma): Esta resistencia representa la dificultad de la radiación para viajar de una superficie a otra debido a su geometría (cuánto "se ven" entre sí). Se calcula como:
$R_{es p a c ia l, ij} = \frac{1}{A _{i} F _{ij}}$
O, por reciprocidad, también $\frac{1}{A _{j} F _{ji}}$ .

Ecuación de la Transferencia de Calor Neta

La tasa neta de transferencia de calor por radiación entre dos superficies $i$ y $j$ que intercambian calor se puede expresar como la diferencia de sus radiosidades dividida por la resistencia espacial:

Q_{ij} = \frac{J _{i} - J _{j}}{R _{es p a c ia l, ij}} = A_{i} F_{ij} (J_{i} - J_{j})

Donde $J_{i}$ y $J_{j}$ son las radiosidades de las superficies $i$ y $j$ .

La radiosidad ( $J_{i}$ ) de una superficie gris se relaciona con su temperatura, emisividad y la radiación incidente ( $G_{i}$ ):

J_{i} = ε_{i} σ T_{i}^{4} + (1 - ε_{i}) G_{i}

Donde $G_{i}$ es la radiación total que incide sobre la superficie $i$ .

Para un sistema de dos superficies grises que forman un encierro completo (donde $F_{12} = 1$ y $F_{21} = 1$ ), la fórmula simplificada para la transferencia neta de calor por radiación desde la superficie 1 a la 2 es:

Q_{12} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1}{ε _{1}} + \frac{1}{ε _{2}} - 1}

Importante: Esta fórmula específica es válida para dos superficies grises grandes, paralelas y muy cercanas, o para dos esferas/cilindros concéntricos donde la superficie interior es mucho más pequeña que la exterior (así el factor de forma de la superficie interior a la exterior es 1). En estos casos, el factor de forma entre ellas es 1.

Si el encierro es más complejo (más de dos superficies, o superficies que no "se ven" completamente), se necesita construir la red de radiación y resolver el sistema de ecuaciones para las radiosidades, o usar la siguiente fórmula general para un intercambio entre dos superficies cualesquiera ( $i$ y $j$ ) dentro de un encierro de varias superficies:

Q_{n e t, i \leftrightarrow j} = \frac{σ ( T _{i}^{4} - T _{j}^{4} )}{\frac{1 - ε _{i}}{A _{i} ε _{i}} + \frac{1}{A _{i} F _{ij}} + \frac{1 - ε _{j}}{A _{j} ε _{j}}}

Esta última ecuación es la más general para el intercambio radiante entre dos superficies grises, conectadas por un factor de forma $F_{ij}$ , considerando sus resistencias superficiales y la resistencia espacial. Sin embargo, para problemas de "encierro" entre dos cuerpos, la primera fórmula simplificada es la más común si $F_{12} = 1$ .

ejercicios resueltos

Dos placas muy grandes y paralelas de 1 $m^{2}$ de área cada una, están separadas por una pequeña distancia. La placa superior (superficie 1) se mantiene a una temperatura de 400 °C y tiene una emisividad de 0.75. La placa inferior (superficie 2) está a 100 °C y tiene una emisividad de 0.6. Calcula la tasa neta de transferencia de calor por radiación entre las dos placas.

Solución:

1. Identificar los datos y constantes:

Área ( $A$ ) = 1 $m^{2}$ (por unidad de área ya que son muy grandes y paralelas)
Temperatura de la superficie 1 ( $T_{1}$ ) = 400 °C
Emisividad de la superficie 1 ( $ε_{1}$ ) = 0.75
Temperatura de la superficie 2 ( $T_{2}$ ) = 100 °C
Emisividad de la superficie 2 ( $ε_{2}$ ) = 0.6
Constante de Stefan-Boltzmann ( $σ$ ) = $5.67 \times 1 0^{- 8} W/(m^{2} \cdot K^{4})$

2. Convertir temperaturas a Kelvin:

$T_{1} = 400 °C + 273.15 = 673.15 K$
$T_{2} = 100 °C + 273.15 = 373.15 K$

3. Aplicar la fórmula para dos superficies grises paralelas (o concéntricas pequeñas dentro de grandes): Dado que las placas son "muy grandes y paralelas", podemos asumir que todo lo que irradia una llega a la otra, lo que significa que el factor de forma entre ellas es 1. En este caso simplificado de dos superficies que forman un encierro completo, la fórmula para la transferencia de calor neta por radiación entre cuerpos grises es:

Q_{12} = \frac{A σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1}{ε _{1}} + \frac{1}{ε _{2}} - 1}

4. Sustituir los valores y calcular:

Primero, calcula las temperaturas a la cuarta potencia:
- $T_{1}^{4} = (673.15 K)^{4} = 2.05 \times 1 0^{11} K^{4}$
- $T_{2}^{4} = (373.15 K)^{4} = 1.939 \times 1 0^{10} K^{4}$
Luego, la diferencia de potencias de temperatura:
- $(T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) = (2.05 \times 1 0^{11} - 1.939 \times 1 0^{10}) K^{4} = 1.8561 \times 1 0^{11} K^{4}$
Ahora, calcula el denominador:
- $\frac{1}{ε _{1}} + \frac{1}{ε _{2}} - 1 = \frac{1}{0.75} + \frac{1}{0.6} - 1 = 1.3333 + 1.6667 - 1 = 2$
Finalmente, sustituye en la fórmula principal:
- $Q_{12} = \frac{( 1 m ^{2} ) \cdot ( 5.67 \times 1 0 ^{- 8} W/(m ^{2} \cdot K ^{4} )) \cdot ( 1.8561 \times 1 0 ^{11} K ^{4} )}{2}$
- $Q_{12} = \frac{5.67 \times 18561}{2} W$
- $Q_{12} = \frac{105260.67}{2} W$
- $Q_{12} = 52630.34 W$

Respuesta: La tasa neta de transferencia de calor por radiación entre las dos placas es de aproximadamente 52,630.34 Watts.

ejercicio propuesto

Problema 1: Esferas Concéntricas Una pequeña esfera metálica pulida de 0.1 m de diámetro y con una emisividad de 0.15 se encuentra suspendida en el centro de una esfera hueca mucho más grande de 1.0 m de diámetro. La superficie interior de la esfera grande (considerada gris) tiene una emisividad de 0.8. Si la esfera pequeña se mantiene a 500 K y la esfera grande a 300 K, calcula la tasa neta de transferencia de calor por radiación entre las dos esferas. (Pista: Para esferas concéntricas donde la interior es mucho más pequeña, el factor de forma de la esfera interior a la exterior es 1. Usa el área de la esfera interior para la fórmula.)

Problema 2: Superficie y Entorno con Emisividad del Entorno Una pared de un horno tiene una temperatura superficial de 700 °C y una emisividad de 0.8. Esta pared irradia calor hacia un gran espacio (considerado un encierro) cuyas paredes internas están a 50 °C y tienen una emisividad de 0.95. Si el área de la pared del horno es de 2.5 $m^{2}$ , ¿cuál es la tasa neta de transferencia de calor por radiación desde la pared del horno al entorno?

Problema 3: Temperatura Desconocida Dos placas grises paralelas, cada una de 0.5 $m^{2}$ de área, intercambian calor. La placa 1 tiene una emisividad de 0.9 y se encuentra a 800 K. La placa 2 tiene una emisividad de 0.4. Si la transferencia de calor neta por radiación de la placa 1 a la placa 2 es de 12,000 W, ¿cuál es la temperatura de la placa 2 en Kelvin?

transferencia de calor por radiación

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